Latihan soal induksi matematika

Contoh 1 :

Buktikan bahwa :

1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1)

untuk setiap n bilangan integer positif

Jawab :

q Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

1 = ½ 1 . (1+1) ->1 = 1

q Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 2 + 3 + …+ k = ½ k (k+1)

q adib. Untuk n = k+1 berlaku

1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)

Jawab :

q 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

k (k+1) / 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

(k+1) [ k/2 +1 ] = (k+1) (k+2) / 2

(k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) / 2

(k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2

q Kesimpulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n +1)

Untuk setiap bilanga bulat positif n

Contoh 2 :

Buktikan bahwa :

1 + 3 + 5 + … + n = (2n – 1) = n²

untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :

q Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

1 = 1² -> 1 = 1

q Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k²

q adib. Untuk n = k + 1 berlaku

1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)²

k ² + (2K + 1) = (k + 1)²

k ² + 2K + 1 = k ² + 2K + 1

Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n – 1) = n²

Untuk setiap bilangan bulat positif n

Contoh 3 :

Buktikan bahwa :

N ³ + 2n adalah kelipatan 3

untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :

q Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

1 = 1³ + 2(1) -> 1 = 3 , kelipatan 3

q Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k ³ + 2k = 3x

q adib. Untuk n = k + 1 berlaku

(k + 1)³ + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

(k ³ + 3k ² + 3 k+1) + 2k + 2

(k ³ + 2k) + (3k ² + 3k + 3)

(k ³ + 2k) + 3 (k ² + k + 1)

Induksi

3x + 3 (k ² + k + 1)

3 (x + k ² + k + 1)

Kesimpulan : N ³ + 2n adalah kelipatan 3

Untuk setiap bilangan bulat positif n